Congruences et restes - Corrigé

Énoncé

Soit \(a\) , \(b \in \mathbb{Z}\) tels que \(a \equiv 4 \ [7]\) et \(b \equiv 3 \ [7]\) .

1. Donner le reste de la division euclidienne par \(7\) de :
    a. \(a+b\)  
    b. \(ab\)  
    c. \(a^2\)
    d. \(3a-5b\)

2. Que dire de \(-5a+2b\) ?

Solution

1. a. On a :  \(\begin{align*}a+b \equiv 4+3 \equiv 7 \equiv 0 \ [7]\end{align*}\) avec \(0 \leqslant 0 < 7\)
donc le reste dans la division euclidienne de \(a+b\) par \(7\) est \(0\) .

    b. On a :  \(\begin{align*}ab \equiv 4 \times 3 \equiv 12 \equiv 5 \ [7]\end{align*}\) avec \(0 \leqslant 5 < 7\)
donc le reste dans la division euclidienne de \(ab\) par \(7\) est \(5\) .

    c. On a :  \(\begin{align*}a^2 \equiv 4^2 \equiv 16 \equiv 2 \ [7]\end{align*}\) avec \(0 \leqslant 2 < 7\)
donc le reste dans la division euclidienne de \(a^2\) par \(7\) est \(2\) .

    d. On a :  \(\begin{align*}3a-5b \equiv 3 \times 4-5 \times 3 \equiv 12-15 \equiv -3 \equiv 4 \ [7]\end{align*}\) avec \(0 \leqslant 4 < 7\)
donc le reste dans la division euclidienne de \(3a-5b\) par \(7\) est \(4\) .

2. On a :  \(\begin{align*}-5a+2b \equiv -5 \times 4+2 \times 3 \equiv -20+6 \equiv -14 \equiv 0 \ [7]\end{align*}\)
donc \(-5a+2b\) est un multiple de \(7\) .