Congruences et restes - Corrigé

Énoncé

Soit $a$ , $b\in \mathbb{Z}$ tels que $a\equiv 4[7]$ et $b\equiv 3[7]$ .

1. Donner le reste de la division euclidienne par $7$ de :
    a. $a+b$  
    b. $ab$  
    c. $a^2$
    d. $3a-5b$

2. Que dire de $-5a+2b$ ?

Solution

1. a. On a :  $\begin{array}{r}a+b\equiv 4+3\equiv 7\equiv 0[7]\end{array}$ avec $0⩽0<7$
donc le reste dans la division euclidienne de $a+b$ par $7$ est $0$ .

    b. On a :  $\begin{array}{r}ab\equiv 4\times 3\equiv 12\equiv 5[7]\end{array}$ avec $0⩽5<7$
donc le reste dans la division euclidienne de $ab$ par $7$ est $5$ .

    c. On a :  $\begin{array}{r}{a}^2\equiv 4^2\equiv 16\equiv 2[7]\end{array}$ avec $0⩽2<7$
donc le reste dans la division euclidienne de $a^2$ par $7$ est $2$ .

    d. On a :  $\begin{array}{r}3a-5b\equiv 3\times 4-5\times 3\equiv 12-15\equiv -3\equiv 4[7]\end{array}$ avec $0⩽4<7$
donc le reste dans la division euclidienne de $3a-5b$ par $7$ est $4$ .

2. On a :  $\begin{array}{r}-5a+2b\equiv -5\times 4+2\times 3\equiv -20+6\equiv -14\equiv 0[7]\end{array}$
donc $-5a+2b$ est un multiple de $7$ .